Formules de Simpson - Corrigé

Énoncé

Soit \(x\)  et  \(y\) des réels.

1. Montrer que \(\begin{align*}\text e^{ix}+\text e^{iy} = \text e^{i\frac{x+y}{2}} \left(\text e^{i\frac{x-y}{2}}+\text e^{-i\frac{x-y}{2}} \right) \end{align*}\) .

2.  En déduire une expression factorisée de \(\cos(x)+\cos(y)\)  et de \(\sin(x)+\sin(y)\)   .

3. a. Trouver, de façon analogue à la question 1, une expression pour \(\text e^{ix}-\text e^{iy}\) .
    b. En déduire une expression factorisée de \(\cos(x)-\cos(y)\)  et de \(\sin(x)-\sin(y)\) .

Solution

1.  \(\begin{align*}\text e^{ix}+\text e^{iy}= \text e^{i\left(\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{2}\right)}+\text e^{i\left(\frac{x+y}{2}-\frac{x-y}{2}\right)}& = \text e^{i\frac{x+y}{2}} \times \text e^{i\frac{x-y}{2}}+\text e^{i\frac{x+y}{2}} \times \text e^{-i\frac{x-y}{2}}\\& = \text e^{i\frac{x+y}{2}} \left(\text e^{i\frac{x-y}{2}}+\text e^{-i\frac{x-y}{2}} \right)\end{align*}\)

2. On a donc :
\(\begin{align*}e^{ix}+\text e^{iy} & = \text e^{i\frac{x+y}{2}} \left(\text e^{i\frac{x-y}{2}}+\text e^{-i\frac{x-y}{2}} \right)\\& = \text e^{i\frac{x+y}{2}} \times 2\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)\\& = 2\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)\text e^{i\frac{x+y}{2}}.\end{align*}\)

En prenant les parties réelles dans cette égalité, on obtient :  \(\begin{align*}\cos(x)+\cos(y)=2\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)\cos\left(\frac{x+y}{2}\right).\end{align*}\)

En prenant les parties imaginaires dans cette égalité, on obtient : \(\begin{align*}\sin(x)+\sin(y)=2\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)\sin\left(\frac{x+y}{2}\right).\end{align*}\)

  3. a. On a :
\(\begin{align*}\text e^{ix}-\text e^{iy}=\text e^{i\left(\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{2}\right)}-\text e^{i\left(\frac{x+y}{2}-\frac{x-y}{2}\right)}& =\text e^{i\frac{x+y}{2}} \times \text e^{i\frac{x-y}{2}}-\text e^{i\frac{x+y}{2}} \times \text e^{-i\frac{x-y}{2}}\\& = \text e^{i\frac{x+y}{2}} \left(\text e^{i\frac{x-y}{2}}-\text e^{-i\frac{x-y}{2}} \right)\\& = \text e^{i\frac{x+y}{2}} \times 2i\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)\\& = 2i\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)\text e^{i\frac{x+y}{2}}.\end{align*}\)

    b. D'après la question 3.a , on a :
\(\begin{align*}\text e^{ix}-\text e^{iy}=2i\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)\text e^{i\frac{x+y}{2}}.\end{align*}\)

En prenant les parties réelles dans cette égalité, on obtient : \(\begin{align*}\cos(x)-\cos(y)=-2\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)\sin\left(\frac{x+y}{2}\right).\end{align*}\)

En prenant les parties imaginaires dans cette égalité, on obtient : \(\begin{align*}\sin(x)-\sin(y)=2\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)\cos\left(\frac{x+y}{2}\right).\end{align*}\)

Remarque

Ces formules sont appelées formules de Simpson.  Elles peuvent aussi être démontrées directement à partir des formules d'addition.